Estimating the prize value of Powerball Lottery by Monte Carlo Simulation (2024)

🎱로또?

갑자기 로또는 어디서 튀어나온 거냐고 물어볼 수도 있겠다. 주가 예측 모델을 만들 때 자주? 사용하는? 볼 수 있는? 무작위 확률을 다루는 method들 중에서 MCS와 Brownian method 등이 있다. 그 중에서 MCS로 한 번 놀아보고 싶은데 가장 만만하고 재밌어 보이는 Lotto를 사용해보기로 했다.

목적

내가 이렇게 단순한 코드로 실행하는 수만 번의 시행을 통해서 얻고자 하는 것이 무엇인가?
일단 몬테카를로 시뮬레이션을 통해서 수치적인 확률과 직접 시행 확률의 차이를 확인해 볼 수 있겠지?
또한 로또와 같은 한탕주의가 깃들어있는 놀이에는 무엇이 중요한가? 과연 내가 사는 로또 1장에 대한 기댓값을 이과는 생각해볼 수밖에 없을 것 같다. 나만 그러나? ㅎㅎ

Powerball에서의 가정

생각보다 이해해야 하는 룰도 있었고 simulation에 대한 결과를 해석하기 위해 따로 가정해야 하는 부분들도 있어서 귀찮았다^^. 그냥 신나게 숫자 뽑기 놀이하면 되는줄
1. 미국의 powerball을 기준으로 하겠다. Powerball은 (1~69)에서 번호 5개, (1~26)에서 번호 1개(보너스)를 뽑는다. 그리고 6개 다 일치해야 Jackpot이다.
2. 첫 번째 pool 1~69에서 5개 따로, 두 번째 pool 1~26에서 1개 따로 뽑는다. 첫 번째 pool의 숫자와 두 번째 pool에서 뽑은 숫자가 일치할 수 있다. (둘은 완전히 다른 pool로 이해하는 것이 편안)
3. 계산의 편의를 위하여 Jackpot에만 상금을 주겠다.

당첨 금액에서의 가정

3/29기준 이번 당첨 금액 = 9350억
일단 현재는 당첨 확률을 기준으로 당첨 금액이 측정되는 것은 아니다
4/2기준(한국)으로 jackpot 금액 $1bil

picture from powerball 공식사이트

1. ticket sold = 292,201,338 and $2 per play
   4/2(한국 기준)으로 가장 최근 powerball의 ticket sold를 기준으로 하겠다.
2. On average, between 20 and 24 percent of Powerball prize winners choose to add the Power Play option to their tickets when the jackpot is $150 million or less. This percentage drops to around 14 to 16 percent for larger jackpots. This indicates that a significant majority of players opt for the standard ticket without additional options.
   -> 위의 정보를 바탕으로 초기 당첨 금액을 정하겠다.
3. 기본적으로 전체 ticket sale 금액의 50% * 60~68% + 이월 금액이 jackpot 가격으로 결정된다.

초기 당첨 금액 설정

 base_ticket_sales = 292000000 * 2 # Total revenue from ticket sales base_jackpot = 0.5 * 0.65 * base_ticket_sales # Starting jackpot jackpot = base_jackpot # Current jackpot rollovers = 0 # Count of rollovers

이건 그냥 계산기로 두드려도 되는거 아냐? 하튼 금액은 $189,818,980 -> 한화로 약 2640억(6/23 기준) ㅎㅎ
Apr 1, 2024 기준으로 1 빌리언 달러 = 약 11조(April Fool's day라고 구라치는거 아냐?)

실행과정

실제 당첨 확률과 비교

실제 당첨 확률 = 1/ (69에서 5개 숫자 뽑고 * 26개에서 1개) = 1 / 292,201,388 -> $3.42 \times 10^{-9}$3.42×10−9

실행 코드

import numpy as npdef simulate_powerball_jackpot(iterations=10000): base_ticket_sales = 292000000 * 2 # Total revenue from ticket sales base_jackpot = 0.5 * 0.65 * base_ticket_sales # Starting jackpot jackpot = base_jackpot # Current jackpot rollovers = 0 # Count of rollovers for _ in range(iterations): # Simulate winning numbers winning_numbers = set(np.random.choice(range(1, 70), 5, replace=False)) winning_powerball = np.random.choice(range(1, 27)) # Assume no winning ticket this iteration winner_found = False # For simplification, we check a subset of tickets instead of all 292,000,000 # Adjust 'num_tickets_simulated' as needed for computational efficiency vs accuracy num_tickets_simulated = 10000 # Example: Simulate 10,000 tickets for each iteration for _ in range(num_tickets_simulated): ticket_numbers = set(np.random.choice(range(1, 70), 5, replace=False)) ticket_powerball = np.random.choice(range(1, 27)) if ticket_numbers == winning_numbers and ticket_powerball == winning_powerball: winner_found = True break # Exit the loop early if a winning ticket is found if not winner_found: # If no winner, the jackpot rolls over: Increase by a fraction of base jackpot jackpot += base_jackpot # Example: 50% of the base jackpot is added each rollover rollovers += 1 else: # If there's a winner, reset the jackpot for the next iteration jackpot = base_jackpot # Reset jackpot after win # Calculate average jackpot considering rollovers # Note: This simplistic model divides the total accumulated jackpot by the number of iterations # For more accuracy, track and average only jackpots in winning iterations average_jackpot = jackpot / iterations return average_jackpot, rollovers# Run the simulationaverage_jackpot, rollovers = simulate_powerball_jackpot()print(f"Estimated Average Jackpot Value: ${average_jackpot:,.2f} with {rollovers} rollovers")

본 코드는 위에서 설정한 초기 당첨 금액으로 매 회마다 일정하게 로또 티켓이 판매된다고 가정하고 실행했다.
그리고 rollover가 생기면 이월 금액으로 더해주는데, 마지막에 iteration으로 나눠주기 때문에, estimated average jackpot value라는 이름으로 값이 나온다.
그래서 밑에서 1번도 당첨이 안된다면, average $189,818,980으로 결과각 나오는 것이다.
지금 생각해보면 왜 이렇게 출력했지? 그냥 당첨 확률만 나오면 되는데, 그리고 당첨 시점에 당첨 금액이 reset되기 때문에; 또 언제 당첨되었던 것인지 직접 계산해야 하잖아 멍청아^^

실행 결과

1. iterations: 10000, nums_tickets_simulated = 5000
   
   -> 1번 당첨

2. iterations: 10000, nums_tickets_simulated = 10000
   
   -> 당첨 X

3. iterations: 10000, nums_tickets_simulated = 20000
   
   -> 당첨 X

4. iterations: 10000, nums_tickets_simulated = 30000
   
   -> 2번 당첨

5. iterations: 10000, nums_tickets_simulated = 40000
   

-> 당첨 X

결과 해석

정답을 정해놓는 것이 아니라 매 시뮬레이션 마다 정답지 한번, 그리고 generate a set of ticket numbers for each ticket sold로 확률을 계산했다.
10,000번의 로또 방송이 있었던 것이고 그 때마다 nums_tickets_simulated 숫자 만큼 판매자가 있었다고 생각하면 될 것 같다.

근데 이게 중요한 것이 아닌 것 같다
간단하게 실제 확률 vs MCS 확률 vs 수치적 확률만 살펴보자

• 수치적 당첨 확률 = 1/ (69에서 5개 숫자 뽑고 * 26개에서 1개) = 1 / 292,201,388 -> $3.42 \times 10^{-9}$3.42×10−9
• MCS 당첨 확률(실험 결과) = $10000 \times (5000 + 10000 + 20000 + 30000 + 40000) / (1 + 0 + 0 + 2 + 0) =2.85 \times 10^{-9}$10000×(5000+10000+20000+30000+40000)/(1+0+0+2+0)=2.85×10−9
  -> 둘은 확률이 거의 비슷한 것을 확인할 수 있다.
• 실제 당첨 확률(가장 최근) -> 대충 티켓 한장당 $2로 가정하고 $233 mil까지 rollover 되고 15번째 시행에서 당첨자가 발생했다. 중학교에서 확률을 배운 아이마냥 계산하겠다. N은 수치적 당첨 확률에서 구한 powerball 전체 경우의 수이다.

# Given the parameters, we need to calculate the following probability:# P = [(1 - 1/N)^(116,500,000)]^14 * (1 - (1 - 1/N)^(116,500,000))# where N is 292,201,388N = 292201388tickets_sold_per_draw = 116500000# Calculating probability of no winner in one drawno_winner_one_draw = (1 - 1/N) ** tickets_sold_per_draw# Calculating probability of no winner for 14 consecutive drawsno_winner_fourteen_draws = no_winner_one_draw ** 14# Calculating probability of at least one winner in the 15th drawwinner_fifteenth_draw = 1 - no_winner_one_draw# Total probabilitytotal_probability = no_winner_fourteen_draws * winner_fifteenth_drawtotal_probability

결과는 다음과 같다
0.001238 or about 0.1238%
아니 이 정도면 로또가 미래 맞는 것 같은데?

나는 MCS를 해본 이유는 이후에 ELS 같은 상품 예측을 Random Path를 구할 때 MCS를 사용하게 되는데, MCS에 대해 잘 알고 있는 상태로 들어가고 싶어서 위에서 15시간이나 걸리는 CPU를 붙잡고 열심히 숫자 뽑기 놀이를 해보았다. 그리고 로또 확률에 대한 결과 보다 프로그램을 돌리면서 어떻게 해석을 내놓아야 할지 고민하는 과정에서 배운 내용들이 생각보다 많다ㅎㅎ

GPU & CPU

먼저 위처럼 15시간 동안 나의 불쌍한 노트북을 켜놓아야 했던 것을 해결하기 위해 노트북에 있는 GPU 연결을 위해 Cuda 설치 및 연결을 공부했다.
더 complex한 코드가 필요하고, 10,000번 iteration에 40,000의 ticket sales 같이 작은 scale은 parellel processing이 굳이 필요 없다는 피드백을 먼저 받았다.
이후에 연결만 하고 결국 사용 안했다. 코드도 gpu를 사용하면 바꿔야 한다더라^^

Random

Can a computer generate a truly random number?
https://engineering.mit.edu/engage/ask-an-engineer/can-a-computer-generate-a-truly-random-number/
On a completely deterministic machine(우리가 쓰는 컴퓨터) you can't generate anything you could really call a random sequence of numbers.
이유 : the machine follows same algorithm to generate them. Meaning, it starts with a common 'seed' number and then follows a pattern. 그리고 우리는 이것을 pseudo-random이라고 부른다.
그리고 위의 lottery 같은 문제에서는 큰 수의 법칙의 영향을 받기 때문에, 적용하기 적절하지 않을 수 있다. 그래도 random seed를 설정하지 않은 상태의 code를 작성했기 때문에, 최소한 nums_tickets_simulated에 따른 시행 때마다 random seed가 달랐을 것이다.아마도?

Exceptionally good at certain aspects of a thing by just doing it everyday (from Lex Fridman's podcast with Andrew Ng)

본 내용은 누군가에게 정보를 제공하고자 작성한 글이 아니다(실력이 안됨)
본인이 공부하면서 깨달은? 내용들의 기록 용도임을 밝힌다.
무한한 피드백과 태클을 걸어도 된다. 양분으로 감사하게 받아 먹겠다.